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Couple d'artistes amateurs, retraités

Multiples de 7 et de 13, voire de 17, 19 et 11

Dans l'émission de télévision "Des chiffres et des lettres", tous les nombres proposés ont trois chiffres, soit donc tous les nombres possibles de 100 (inclus) à 999 (inclus).

Il peut être intéressant de savoir reconnaître tant un multiple de 7 qu'un multiple de 13, et, avec un peu d'habitude, cela ne vous paraîtra pas trop difficile :

- multiples de 7 : il suffit de doubler le 1er chiffre et de l'ajouter au nombre formé par les deux autres, exemple 518. Si le résultat est un multiple de 7, le nombre proposé est alors multiple de 7. Exemples : 518 (car 5*2+18 = 28),364 (puisque  3*2+64 = 70),                             679 (car 6*2+79 = 91 = 13*7), 518, 259, 931 ou 805... Il est aisé de comprendre pourquoi en remarquant que -98 peut s'écrire (-1)02, le - se positionnant sur le 1, par la méthode du complément à 0 que l'on utilise (peut-être encore) en comptabilité, (-1)02 se lisant mentalement -100+2. En doublant -1 et en l'ajoutant à +2, on obtient 0, multiple de 7, bien évidemment.

En outre, lorsque le même nombre représente les 1er et 3e chiffres, pour 434 par exemple, il faut et il suffit que la somme des deux premiers (ou des deux derniers) soit égale à 7 ou à 14, pour que le nombre proposé soit multiple de 7 : exemples avec 161, 252, 343, 545, 616 et 686, 707 et 777, 868 et 959. (Chacun de ces nombres est alors un palindrome). Dans le même ordre d'idées, 1666, 2555, 3444, 4333, 5222 et 6111 sont également multiples de 7, la somme des deux premiers chiffres étant égale à 7.

- multiples de 13 : la démarche est assez similaire. Il convient alors de s'intéresser au nombre 104, premier nombre de trois chiffres qui soit multiple de 13. Il faut alors multiplier le premier chiffre par 9 et l'ajouter au nombre formé par les deux autres, à l'instar de 104. Ainsi, 208 est multiple de 13, car 2*9+8 = 26, 338 l'est aussi (3*9+38 = 65), 507, 702 le sont également. Et lorsque un même nombre représente le premier et le troisième chiffres du nombre proposé, ce dernier alors est multiple de 13 si la somme des deux premiers chiffres (ou des deux derniers) est égale à 13 : soit donc les seuls palindromes 585 et 858, 949 et 494, 676 et 767. 

 Cette similitude est peut-être liée au fait que 1001 est multiple de 7 et de 13 (je ne sais trop).

 - multiples de 17, 19, 11

En s'intéressant maintenant aux multiples de 17, 19 ou 11, on obtient : 

- multiples de 17  (voire de 19)

Par extension, 102 étant multiple de 17 (soit 6*17) et symétrique de 98 par rapport à 100, on peut s'habituer aussi à reconnaître un multiple de 17 : il suffit de soustraire 2 fois le nombre formé par le premier chiffre à celui que forment les deux autres : 374 est multiple de 17 puisque    74-2*3 = 68 = 4*17. Et, corsant un peu la difficulté, on peut aussi rechercher un multiple de 19, puisque 5*19 = 95 = 100-5. Ainsi, par exemple, le nombre 418 est multiple de 19 puisque 5*4+18 = 38 = 2*19.

Curiosité : les seuls palindromes de trois nombres multiples de 17 sont 272, 323, 595, 646 et 969. En considérant les nombres 17, 34, 51, 68, 85, on peut constater (un peu d'intuition, davantage sans doute de recherche et de tâtonnements) que 2*1+7*7 = 51, 2 *6+7*8 = 68, etc.

 Les seuls palindromes multiples de 19 sont : 171, 323, 494, 646 et 969, et l'on peut curieusement écrire : 272-171 = 595-494 = 101. Par ailleurs, en ayant recours, par exemple, au nombre  52  (du tâtonnement !), on écrira également : 5*1+2*7 = 19, 5*3+2*2 = 19, 5*4+2*9 = 38, 5*64 = 38, 5*96 = 57. Le nombre 35 fait aussi l'affaire : 3*1+5*7 = 38,

 - multiples de 11

Quant aux multiples de 11, il faut et il suffit  que la différence entre la somme des 1er et 3e chiffres et le 2e chiffre soit 0 ou 11 : exemples 979, 737 ou 506, car 9+9-7 =11, 7+7-3 + 11, 5+6-0 = 11. Je suppose que cette méthode s'apprend toujours à l'école. Par ailleurs, pour tout nombre de plus de trois chiffres, il faut alors et il suffit que la différence entre la somme des chiffres d'ordre pair et celle des chiffres d'ordre impair soit multiple de 11 (beaucoup de personnes le savent).

(Les couleurs sont faites pour aider le lecteur, afin de savoir pourquoi l'on prend ici tel nombre plutôt que tel autre et d'éviter d'éventuelles ambiguïtés.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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