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Etudes sur les triplets pythagoriciensTout triplet pythagoricien est un ensemble de trois nombres entiers mesurant les côtés a, b et c, d'un triangle rectangle, avec généralement a<b<c, et tel que l'on obtient la relation a²+b²=c². Le plus connu est 3, 4, 5, que l'on peut noter T(3,4,5), avec cette particularité que l'on a aussi 3³ +4³ +5³ = 63. Pour tout a impair, puisque a²=c²-b², on remarquera que c-b=1 puisque a, b et c sont premiers entre eux, soit donc a²=b+c, ou encore a²=2b+1. Beaucoup d'études concernent ces triplets pythagoriciens et vous trouverez ici peut-être d'autres curiosités.
1) a<b<c : a est alors impair Les premiers triplets sont T(3,4,5), T(5,12,13), T(7,24,25), T(9,40,41), T(11,60,61)... Les valeurs successives de b, soit 4, 12, 24, 40, 60... se suivent logiquement, soit 4 fois : 1, 1+2 ou 3, 1+2+3 ou 6, 1+2+3+4 ou 10 et 1+2+3+4+5 ou 15, et celles de c (b+1) se suivent de même. D'où la possibilité de déterminer aisément les triplets suivants, de proche en proche.
2) a<b<c, avec a pair
Le premier exemple est le triplet T(4,3,5), le suivant étant T(8,15,17), en mettant de côté, pour l'instant, T (8,6,10) qui est homothétique de T(4,3,5). Viennent ensuite T(12,5,13), T(20,21,29), en "oubliant" également T(16,12,20) ou T(16,30,34), T(20,15,25), T(20,48,52), homothétiques de triangles recensés ci-dessus. ,
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