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Méli-mélo et nombres Périodicités Etude sur la série de Fibonacci Etudes géométriques Etudes sur les triplets pythagoriciens Multiples de 7 et de 13, voire de 17, 19 et 11 Puissances Calcul rapide : carré de nombres impairs quinaires et autres carrés Factorielles Suite 1, 3, 7, 13, 21... Petites poésies Trisection : étude numérique Expression ax²+b = cy² Liens amicaux Discussion libre Boutique Express |
PuissancesPuissances diverses
Beaucoup d'entre vous savent sans doute que la somme des nombres impairs consécutifs constitue l'ordre des carrés parfaits : 1 = 1², 1+3 = 2², 1+3+5 = 3², etc. Par ailleurs, la somme des cubes consécutifs vous donne la suite logique de carrés parfaits : 1³= 1², 1³ +2³ = 3², 1³ +2³ +3³ = 6²..., avec la suite tout aussi logique 1, 1+2 =3, 1+2+3 = 6 (puis 1+2+3+4 = 10...). a) En ce qui concerne les cubes, soit donc la puissance troisième, on peut écrire : 1 = 1³, 3+5 =2³, 7+9+11 = 3³, 13+15+17+19 = 4³, etc. Pour obtenir ainsi le cube d'un entier n donné, il faut faire la somme de n nombres consécutifs et l'on peut vérifier assez aisément que le dernier terme de cette suite vaut n(n+1)-1 alors que le premier vaut n(n-1)+1, et nous avons bien la relation ci-après (1/2*a*[(a²+a-1)+(a²-a+1)] = a³. b) Au sujet de la puissance quatrième, les résultats se trouvent nécessairement dans la suite des carrés, puisqu'il s'agit là du carré d'un carré. On obtient : 1 = 14, 1+3+5+7 = 24, 1+3+5+7+9+11+13+15+17 = 34, et l'on peut remarquer que le nombre de termes dont on fait à chaque fois la somme est le carré du nombre dont on cherche la puissance quatrième : 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+247+29+31 = 256 = 44 et il y a bien ici la somme de 16 nombres impairs consécutifs.
c) Quant à la puissance cinquième, à partir des nombres 1, 32 ou 25, 243 ou 35, 1024 ou 45, on peut trouver : 1 = 15, (1+3+5+7)*2 = 25, (1+3+5+7+9+11+13+15+17)*3 = 35 et ainsi de suite, avec les facteurs 4, 5... associés aux groupes ci-dessus.
d) Divers tableaux concernant les puissances A partir de l'égalité connue 24 = 4², on peut étudier les relations possibles entre ab et ba
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