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Méli-mélo et nombres Périodicités Etude sur la série de Fibonacci Etudes géométriques Etudes sur les triplets pythagoriciens Multiples de 7 et de 13, voire de 17, 19 et 11 Puissances Calcul rapide : carré de nombres impairs quinaires et autres carrés Factorielles Suite 1, 3, 7, 13, 21... Petites poésies Trisection : étude numérique Expression ax²+b = cy² Liens amicaux Discussion libre Intelligence artificielle |
Calcul rapide : carré de nombres impairs quinaires et autres carrés1) Tout nombre impair quinaire est simplement un nombre dont le chiffre des unités est 5. Le carré d'un tel nombre peut se calculer parfois assez facilement, le résultat se terminant nécessairement par 25. Soit donc un nombre impair binaire, que l'on peut écrire 10a + 5, a étant un entier quelconque (si a vaut 79, le nombre binaire est donc 795). Le carré de ce nombre devient : (10a+5)² = 100a²+100a+25, que l'on peut écrire 100a (a+1)+25. Ainsi remarquera-t-on que, devant ce 25, on obtient un nombre qui est le produit de deux nombres consécutifs. Exemple : 135²=18225, avec 182=13*14. On aurait pu aussi écrire 10b-5, avec b=14, et le résultat est identique, car (10b-5)²=100b²-100b+25, soit 100b(b-1)+25 = 1400*13+25 ou 18225. 2) En ce qui concerne le carré d'un nombre quelconque, le calcul peut en être plus aisé si l'on connaît celui de son complément à la centaine suivante. Soit à calculer par exemple le carré de 173 : en sachant que 27²=729, il suffit de calculer ainsi : 173²=(173+27)*(173-27)+27², soit, d'une façon plus générale, a²=(a²-b²)+b² ou a²=(a+b) (a-b)+b², ce qui donne : 173²=200*146+729 ou 173²=29200+729=29929. A force d'habitude, cette gymnastique spirituelle sera plus aisée que de calculer 173² à partir de 170², 175² ou 180², voire (200-27)². Tout revient, en somme à calculer a² = a²-b²+b², a²-b² étant l'identité remarquable (a+b)*(a-b). Il est aussi loisible de chercher le complément à 50 (ou à un multiple impair de 50) : 37² = (37+13)*(37-13)+13², soit 37² = 50*24+169 ou 1369. Par ailleurs, pour tout carré d'un nombre impair, l'avant dernier chiffre du résultat est pair (17² = 289, par exemple) et pour un tout carré d'un nombre pair, l'avant dernier chiffre est soit pair (12² = 144, 18² = 324, 22² = 484...), soit impair (14² = 196, 16² = 256, 24² = 576...). Quant au carré d'un multiple de 10, ses deux derniers chiffres sont évidemment pairs, soit 00. |