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Signalons au passage que la courbe relative à l'équation de la forme ax²-cy²=b est une hyperbole (ou ax²+b =cy²).

En choisissant a, b et c entiers, b pouvant être négatif, il s'agit de trouver, si elles existent, quelles sont les valeurs de x et les valeurs correspondantes de y qui satisfont à une équation donnée.  

Dans l'immédiat, en prenant quelques valeurs simples de a, b et c, on peut déja obtenir quelques résultats. 

 

A) 3x²+5 = 2y², équation prise au hasard bien qu'admettant les valeurs assez évidentes x = 1 et y = 2, que l'on peut considérer en tant que couple (1,2) répondant à la question.

Les valeurs suivantes figurent dans le tableau ci-contre, un code de couleurs doit permettre une meilleure compréhension des résultats.          

x	y
1	2
3	4
13	16
31	38
129	158
307	376
1851	2138

Le couple suivant (3,4) peut être déterminé un peu par tâtonnement, sans trop de difficulté, le suivant (13,16) également, compte tenu du fait que x est nécessairement impair puisque 2y² est pair, ne peut être quinaire (la valeur de 2x² se termine alors par le nombre 80), et il est un peu plus difficile de déterminer le couple (31,38) : les valeurs en x et en y "montent" vite ! 

A ce stade-là, on peut réfléchir et supputer les prochaines valeurs, en ayant à l'esprit la notion de logique, d'harmonie : 

Pour certaines valeurs de x et les valeurs correspondantes de y, on peut écrire :

(13+3)2-1 = 31, (16+4)2-2 = 38,

(31+13)3-3 = 129, (83+16)3-4 = 158,

(31+129)2-13 = 307, (158+38)2-16 = 376,

1+3 = 4, 3+13 = 16,

2+1+13 = 16, 4+3+31 = 38,

16+13+129 = 158, 38+31+307 = 376...

On peut vérifier que ces valeurs sont bien les seules en correspondance (je ne sais pourquoi), et l'on peut continuer ainsi de proche en proche, les calculs se faisant un de plus en plus compliqués, sans doute. Mais la "recette" marche !

Rien n'empêche non plus de s'intéresser d'abord aux valeurs possibles et simples de y (soit 2,4, voire 16), sachant que y ne peut être impair (puisque 3x²+5 doit être multiple de 4), ni multiple de 6, ni multiple de 10.    

Il est également possible de s'amuser à trouver d'autres relations, du genre 7*(13+31)-1 = 307, 7*(16+38)-2 = 376 tout comme

10*13-1 = 129, 10*16-2 = 158... ou encore :  

4*13-3*16 = 4, 38*129-31*158 = 4, 376*1851-307*2138 = 4,

2*3-1*4 = 2, 16*31-13*38 = 2, 158*307-129*376 = 2,

2*(31+129)-13 = 307, 2*(38+158)-16 = 376.

 Autre curiosité, les coefficients 3 et 5 de l'expression entrent également en scène : 2*3*1+2*5 = 16, 2*13*3+16*5 =158, etc.

On peut considérer que l'expression 3x²-5 = y² en est l'expression conjuguée : dans le cas présent, elle ne comporte aucune solution en x et en y, car 3x²-5 ne peut être multiple de 4.   

 

 

B)  5x²+3 = 2y², équation prise également au hasard, sans corrélation spécialement avec l'équation étudiée ci-dessus.

La recherche est plus difficile. Cependant, x est impair et non multiple de 3, y est pair, non multiple de 3, mais son chiffre des unités est soit 2, soit 8, pour que 2y² se termine par 8, car 5x²+3 ne peut que se terminer par 28.

Si les deux premiers couples, soit (1,2) et (5,8) sont aisés à déterminer, le suivant (43,68) l'est un peu moins, bien que 12, 18, 42  et 48 ne puissent répondre à la question.

Ici, on peut noter : 2+1+5 = 8, 68+43+191 =302, soit comme un tour complet dans le sens des aiguilles d'une montre, d'une valeur de y à la valeur suivante de y, ou 8x191-302*5 = 18 tout comme 2*43-68*1 = 18.

En étudiant également l'expression conjuguée 5x²-3 = 2y² mettant en évidence le couple (1,1), on obtient le tableau ci-contre, à gauche,

 

 

x'	y'
1	1
7	11
31	49
265	419
1177	1861

  dans lequel on note les valeurs notées x'1, x'2..., y'1, y'2...

 pour plus de simplicité, peut-être, et pour qu'il n'y ait pas de  confusion avec x et y.                                         

          

x	y
1	2
5	8
43	68
191	302
1633	2582

 

 

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