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                                                                   Puissances diverses

 

Beaucoup d'entre vous savent sans doute que la somme des nombres impairs consécutifs constitue l'ordre des carrés parfaits : 1 = 1², 1+3 = 2², 1+3+5 = 3², etc. Par ailleurs, la somme des cubes consécutifs vous donne la suite logique de carrés parfaits : 1³= 1², 1³ +2³ = 3²,  1³ +2³ +3³  = 6²..., avec la suite tout aussi logique  1, 1+2 =3, 1+2+3 = 6 (puis 1+2+3+4 = 10...).

a) En ce qui concerne les cubes, soit donc la puissance troisième, on peut écrire :

1 = 1³, 3+5 =2³, 7+9+11 = 3³, 13+15+17+19 = 4³, etc. Pour obtenir ainsi le cube d'un entier n donné, il faut faire la somme de n nombres consécutifs et l'on peut vérifier assez aisément que le dernier terme de cette suite vaut n(n+1)-1 alors que le premier vaut n(n-1)+1, et nous avons bien la relation ci-après (1/2*a*[(a²+a-1)+(a²-a+1)] = a³.                                                                

b) Au sujet de la puissance quatrième, les résultats se trouvent nécessairement dans la suite des carrés, puisqu'il s'agit là du carré d'un carré. On obtient :

1 = 1⁴, 1+3+5+7 = 2⁴, 1+3+5+7+9+11+13+15+17 = 3⁴, et l'on peut remarquer que le nombre de termes dont on fait à chaque fois la somme est le carré du nombre dont on cherche la puissance quatrième :

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+247+29+31 = 256 = 4⁴ et il y a bien ici la somme de 16 nombres impairs consécutifs.

 

c) Quant à la puissance cinquième, à partir des nombres 1, 32 ou 2⁵, 243  ou 3⁵, 1024 ou 4⁵, on peut trouver : 1 = 1⁵, (1+3+5+7)*2 = 2⁵,

(1+3+5+7+9+11+13+15+17)*3 = 3⁵ et ainsi de suite, avec les facteurs 4, 5...

associés aux groupes ci-dessus.

 

 

d) Divers tableaux concernant les puissances 

A partir de l'égalité connue 2⁴ = 4², on peut étudier les relations possibles entre a^b et b^a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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